태태수학일지 - 수학으로부터 인류를 자유롭게하라(명제)

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Expansion of Knowledge(지식의 확장)

참으로 알고있는 것으로부터 논리적인 과정을 통해 새로운 참을 이끌어내는 과정

 

 

Boolean Values

True(참)

False(거짓)

 

Propositions(명제)

True, False로 판단할 수 있는 문장

 

p1 : 모든 사람은 죽는다. ⟶ True(1)

 

 

Axioms(공리)

참으로 증명없이 받아들이는 명제

 

Conditions

변수에 따라 True, False가 달라지는 식

 

항상 True이거나 False이면 각각 true proposition, false proposition으로 생각한다.

 

ex)

x^2 = 4 -> true , if x=2 or x=-2

                  false , if otherwise

 

즉 조건에 따라 참이되고 거짓이 되는것을 말한다.

 

 

Truth Sets

어떤 Condition을 만족하는 원소의 집합

위를 예시로 들면 x=2와 x=-2가 true set이다.

 

 

Logical Operations

 

Logical Negation(¬) 

Not을 의미

 

0이면 1로 

1이면 0으로

 

Logical Conjunction( ∧ )

and와 같다

둘다 1이면 1이다.

 

Logical Disjunction( ∨ )

or와 같다

하나만 1이여도 1이다.

 

 

Logical Exclusive Disjunction( ⊕ ) 

배타적 논리합이고 ,
서로 다를때만 1이다.

 

 

Logical Implications(조건적 관계)

 

조건 A가 만족될 때, 가 만족됨을 추론하는 연산

 

ex)

A: (수학 시험에서 100점을 맞는다.) B: (용돈을 받는다.)

A -> B

쉽게 말해서 약속과 같은 개념이다.

A가 if를 했을경우 B가 if를 해준다는 것이다

 

그래서 A가1일때 B가 0일 경우만 false이다.

 

다시말해 밴다이어그램으로 표현할 경우

 p -> q일경우 

P ⊆Q 여야 한다는 뜻이다.

 

출처: 인프런 수학으로부터 인류를 자유롭게 하라

 

iff Condition

두 조건 가 서로 같은 truth set을 만들 때, 두 조건은 같은 조건이다.

 

한정자

 

 ∀ 모든 x에 대하여 p(x)가 참이다를 의미

 

 

∃ 어떤 x에 대하여 q(x)가 참이다를 의미한다. 최소한 하나만 존재하면 참이다

.

• 덧셈의 항등원 (Additive Identity):
  • 정의: ∀x, ∃a, x + a = x
  • 해석: 모든 수 x에 대하여, 더했을 때 자기 자신(x)이 나오게 하는 어떤 수 a가 존재한다.
  • 결론: 이 조건을 만족하는 a는 0입니다. 0은 덧셈에 대한 항등원입니다.
• 덧셈의 역원 (Additive Inverse):
  • 정의: ∀x, ∃a, x + a = 0
  • 해석: 모든 수 x에 대하여, 더했을 때 덧셈의 항등원(0)이 나오게 하는 어떤 수 a가 존재한다.
  • 결론: 이 조건을 만족하는 a는 -x입니다. 즉, 모든 수 x는 자신의 덧셈에 대한 역원(-x)을 가집니다.

 

 

Basic Computations

  [(A ∧ B) ⟶ B] ⟶(A∨B)

 

이렇게 기본적인 연산은 하나하나 치환해서 연산을 하는 것이 편하다.

 

(A ∧ B) = C
C ⟶ B = D

D ⟶(A∨B) =result

 

A	B	A ∧ B	C→B	A∨B	D -> E
0	0	0	1	0	0
0	1	0	0	1	1
1	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1

 

 

Logical Computations

연관법칙, 분배법칙, 결합법칙 모두 가능하다는 것이다.

Other Equivalences

(1) ¬(¬A) ⟷ A

(2) A ∧ A ⟷A

(3) A ∨A ⟷A

Commutativity

(4) A ∧B ⟷B∧A

(5) A ∨B ⟷B∨A

Associativity

(6) (A ∧ B)∧C ⟷A∧(B∧C)

(7) (A ∨B)∨C ⟷A∨(B∨C)

Distributivity

(8) A ∧(B∨C) ⟷(A∧B)∨(A∧C) (

9) A ∨(B∧C) ⟷(A∨B)∧(A∨C)