태태수학일지 - 수학으로부터 인류를 자유롭게 하라

 

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수학으로부터 인류를 자유롭게 하라(기초대수학편)| 공대형아(신경식) - 인프런 강의

 

 

집합

 a collection of distinct and well-defined things(or elements)

 

 

서로 같지않은, 같은 종류의  object의 모임

 

 

 

Enumerating Elements(Roster Form)

값을 나열하는

ex) A ={1, 2, 3, 4}

 

Set Builder 

식을 주는

ex) A ={x | 1 ≤x∈ℕ≤4}

 

집합은 벤 다이어 그램으로도 표현할 수 있다.

 

집합에는 모든 걸 표시할 수 있는 Universal sets과

U: 가능한 모든 원소들의 집합

 

empty를 의미하는 Empty Sets가 있다.

∅={}

 

자연수, 정수, Whole Number, 유리수, 무리수 다 수의 집합이다.

 

이렇게 집합을 통해서, 집합간의 관계는 함수가 될 수 있고, 집합으로 선도 그릴 수 있고, 평면이 될 수 도있다.

 

Cardinality of sets

집합의 수이고

|A| = (# elements) 이렇게 표시한다.

 

ex)

A ={0, 1}  ⟶|A|=2

 

encoding

 

자연수, 무리수 , 유리수 , 정수 이런 수를 봤을 때 encoding이 가능한 부류와 가능하지 않은 부류로도 나눌 수 있다.

 

원소의 개수가 무한한 집합

ex) ℕ, 𝕎, ℤ, ℚ, 𝕀, ℝ, ℂ

 

원소들을 index에 대응시킬 수 있는 무한집합 ex) ℕ, 𝕎, ℤ, ℚ encoding이 가능함

N은 1,2,3,4 ....

W는 0,1,2,3,4....

W는 0, -1 ,1 ...

로 인코딩을 할 수 있다.

 

집합은 포함관계 비포함관계가 있다.

 

(원소 가 집합 에 포함됨)  A = (a ∈ A)

 

(원소 가 집합 에 포함되지 않은) A = (a ∉ A)

 

A=B가 같을 때 equal sets이라고 한다.

 

 

 

A의 모든 원소가 B에 포함될 때 A는 B의 SubSet이라고한다

A가 B의 완전히 포함되지만 똑같지는 않을 때 Proper Subsets이라고 한다.

 

 

Unary Operations - Power Sets

Power Sets

하나의 집합의 연산이다.

 

|Ac| = |U|−|A

 

집합 A의 모든 Subset들의 집합을 뜻하고

 

|𝒫(A)| = 2|A|

카디널리티는 이렇게 표현한다.

 

Binary Operations

 

Cardinality

|A ∪B| = |A|+|B|−|A∩B|

|A ∩B| ≤ |A|, |A∩B| ≤|B|

|A ∪B| ≥ |A|, |A∪B| ≥|B|

 

Special Cases

A ⊆B⟶A∪B=B, A∩B=A

|A ∩B| = |A|, |A∪B| =|B|

A ⊇B⟶A∪B=A, A∩B=B

|A ∩B| = |B|, |A∪B| =|A|

 

 

De Morgan’s Law

(A ∩B)c = Ac∪Bc

(A ∪B)c = Ac∩Bc

 

Computation Exercises

(1) A−B=A∩Bc

(2) B−A=B∩Ac

 

Distributive Law

(1) C−(A∩B)  = C∩(A∩B)c

= C∩(Ac∪Bc)

= (C∩Ac)∪(C∩Bc)

= (C−A)∪(C−B

 

A^2으로  선을 만들 수 있다.

 

Disjoint Sets

A,B 집합 에 대해 A∩B=∅ A,B 일 때 는 disjoint set이다.

 

Partitions of Sets

(U) Universal set n 안에 개의 집합  A1, A2, … ,An U 이 있고, 의 모든 원소들이 모두 단 하나의 에만 포함될 때,

출처: 인프런(수학으로 부터 인류를 자유롭게하라)